Question

阅读理解题：
对于任意正实数a、b，∵(

a

-

b

)2≥0∴a-2

ab

+b≥0∴a+b≥2

ab

．只有a=b时，等号成立，即当a=b时有最小值2

ab

．
（1）根据上述内容，回答下列问题：
若m＞0，只有当m=

 

时，m+

1

m

有最小值为

 

．
（2）探索应用，如图，已知A（-3，0）、B（0，-4）、M（2，6）在双曲线y=

k

x

（x＞0）上．
①求k的值；
②若P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用公式可得m+

1

m

≥2

m• 1 m

=2，当且仅当m=

1

m

时，取等号；继而求得答案；
（2）①由M（2，6）在双曲线y=

k

x

（x＞0），利用待定系数法即可求得k的值；
②首先设点P（x，

12

x

），即可得S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

×（4+

12

x

）×3+

1

2

×（4+

12

x

）×x，继而求得答案．

解答：解：（1）根据题意得：m+

1

m

≥2

m• 1 m

=2，
当且仅当m=

1

m

时，取等号；
∵m＞0，
解得：m=1，
∴若m＞0，只有当m=1时，m+

1

m

有最小值为：2．
故答案为：1，2；

（2）①∵M（2，6）在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，
∴6=

k

2

，
解得：k=12；

②设点P（x，

12

x

），
则点C（x，0），点D（0，

12

x

），
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

×（4+

12

x

）×3+

1

2

×（4+

12

x

）×x=

18

x

+2x+12≥2

18 x •2x

+12=24，
当且仅当，

18

x

=2x时，取等号；即四边形ABCD面积的最小值为：24．
解得：x=3，
∴点C（3，0），点D（0，4），
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及几何不等式的应用．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．