Question

在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AC⊥BD于R，PQ与BC、AD分别相交于点Q、P，且∠BAD=∠BQP．求证：PQ∥CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线的判定,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：利用“角边角”证明△ABR和△CBR全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BC，再利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=BCD，然后求出∠BCD=∠BQP，再根据同位角相等，两直线平行证明即可．

解答：证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵AC⊥BD，
∴∠ARB=∠CRB，
在△ABR和△CBR中，

∠1=∠2 BR=BR ∠ARB=∠CRB

，
∴△ABR≌△CBR（ASA），
∴AB=BC，
在△ABD和△CBD中，

AB=BC ∠1=∠2 BD=BD

，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠BAD=BCD，
∴∠BCD=∠BQP，
∴PQ∥CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于两次证明三角形全等．