Question

3．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．
（1）求证：EF∥AC；   （2）求∠BEF大小．

Answer 1

分析 （1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定．
（2）先确定△GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通过△BAE≌△BCG，得出BE=BG=EG，即可求得．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BF，
∵AE=CF，
∴四边形ACFE是平行四边形，
∴EF∥AC，

（2）解：连接BG，如图所示：
∵EF∥AC，
∴∠F=∠ACB=45°，
∵∠GCF=90°，
∴∠CGF=∠F=45°，
∴CG=CF，
∵AE=CF，
∴AE=CG，
在△BAE与△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠BAE=∠BCG=90°}&{\;}\\{AE=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCG（SAS）
∴BE=BG，
∵BE=EG，
∴△BEG是等边三角形，
∴∠BEF=60°．

点评 本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．