Question

如图，直线y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点M在抛物线上，过点M作y轴的平行线交直线AB于点N，是否存在以点M、N、O、B为顶点的平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线的解析式求得直线与坐标轴的交点坐标，然后代入抛物线的解析式利用待定系数法确定解析式即可；
（2）假设存在点P（x，y）使得△ABP的面积最大，连接OP，利用S_△ABP=S_△OPA+S_△OPB-S_△OAB得到有关面积与点P的横坐标的关系即可确定M点的坐标；
（3）存在，设点M（x，y），所以y_M=-x²+2x+3，根据MN∥y轴得到y_N=-x+3，从而表示出MN=|（-x+3）-（-x²+2x+3）|=|x²-3x|，利用等腰三角形的性质得到当MN=BO=3时，以M、N、O、B为顶点的四边形是平行四边形，从而得到|x²-3x|=3，求得x的值即可求得点M的坐标．

解答：解：（1）直线y=-x+3，当y=0时，x=3；当x=0时，y=3，
∴A（3，0）、B（0，3），
∵抛物线过A（3，0）、B（0，3），
∴

-9+3b+c=0 c=3

解得：

b=2 c=3

，
∴所求抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）假设存在点P（x，y）使得△ABP的面积最大，
连接OP，则S_△ABP=S_△OPA+S_△OPB-S_△OAB=

1

2

OA•y+

1

2

OB•x-

1

2

OA•OB
=

3

2

y+

3

2

x-

9

2

=

3

2

（x-x²+2x+3）-

9

2

=-

3

2

（x²-3x）
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

当x=

3

2

时，点P（

3

2

，

15

4

）在第一象限，此时△ABP的面积最大，
所求的点P的坐标为：P（

3

2

，

15

4

）．

（3）存在，设点M（x，y），所以y_M=-x²+2x+3
∵MN∥y轴，
∴y_N=-x+3，
∴MN=|（-x+3）-（-x²+2x+3）|=|x²-3x|
当MN=BO=3时，
以M、N、O、B为顶点的四边形是平行四边形，
即|x²-3x|=3，
解得：x=

3+ 21

2

或x=

3- 21

2

当x=

3+ 21

2

时，y=-

3+ 21

2

，
当x=

3- 21

2

时，y=-

3- 21

2

，
所以当M（

3+ 21

2

，-

3+ 21

2

）或M（

3- 21

2

，-

3- 21

2

）以M、N、O、B为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．