Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G，E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE 沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：AG=C′G；
（2）求sin∠ABG的值；
（3）求△DEF的面积．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，根据ASA可证△ABG≌△C′DG，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出sin∠ABG的值；
（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故AH=HD=

1

2

AD=4，再根据同角三角函数可求tan∠ABG，即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）∵△BDC′由△BDC 翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在△ABG≌△C′DG 中，

∠BAD=∠C′ AB=C′D ∠ABG=∠ADC′

，
∴△ABG≌△C′DG（ASA），
∴AG=C′G；

（2）由（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，
设AG=x，则GB=8-x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，
即6²+x²=（8-x）²，
解得x=

7

4

，
∴sin∠ABG=

AG

BG

=

7 4

8- 7 4

=

7

25

；

（3）∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴AH=HD=

1

2

AD=4，
∵sin∠ABG=

7

25

，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=

7

24

，
∴EH=HD×

7

24

=4×

7

24

=

7

6

，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位线，
∴HF=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
∴EF=EH+HF=

7

6

+3=

25

6

，
∴△DEF的面积=

1

2

×

25

6

×4=

25

3

．

点评：本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．