Question

4．在等边△ABC中，
（1）如图1，点E是等边△ABC的边BC上的动点，连结AE，以AE为边构造如图等边△AED，连结DB，求证：BD∥AC．
（2）如图2，点E，F是等边△ABC边BC，AB上的动点，连结EF，以EF为边构造如图等边△EFD，连结DB，求证：BD∥AC．
（3）在（2）的条件下，连结CD，如果AB=2，请问在E，F的运动过程中，CD是否存在最小值？若有请求出；若无请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先证得△ACE≌△ABD，得到∠ABD=∠C=∠BAC=60°，再根据平行线的判定推出结论；
（2）过点F作FN∥AC交BC于点N，先证得△FNE≌△FBD，得到∠ABD=∠FNE=∠C=∠BAC=60°，再根据平行线的判定推出结论；
（3）由（2）知，不论E，F运动到何处，都有BD∥AC，当F运动至A处，E运动至B处时，D在P点处：当F运动至B处，E运动至C处时，D在Q点处，故D的运动路径是线段PQ，（如图）作CM⊥PQ交线段PQ于M，则CD的最小值为CD，把数值代入即可求得．

解答 解：（1）∵△ABC，△EFD是等边三角形，∴DA=DE，BA=CA，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，
在△ACE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ECA=∠DAB}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠C=∠BAC=60°，
∴BD∥AC；

（2）过点F作FN∥AC交BC于点N，∴∠BFN=∠A=60°，∠FNB=∠ACB=60°，
∵△ABC，△EFD是等边三角形，∴∠FDE=60°，∠DFE=∠BFN=60°，∴∠DFB=∠EFN，
在△FNE和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠EFN}\\{∠FDE=∠FNB=60°}\\{FD=FE}\end{array}\right.$，
∴△FNE≌△FBD，
∴∠ABD=∠FNE=∠C=∠BAC=60°，
∴BD∥AC；

（3）CD有最小值$\sqrt{3}$，
证明如下：
由（2）知，不论E，F运动到何处，都有BD∥AC，
当F运动至A处，E运动至B处时，D在P点处：
当F运动至B处，E运动至C处时，D在Q点处．
∴D的运动路径是线段PQ，（如图）
作CM⊥PQ交线段PQ于M，
在Rt△BCM中，AB=2，∠CBM=60°，
∴CM=BC•sin∠CBM=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴CD_最小=CM=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，最短距离问题，证得△FNE≌△FBD是解决（2）的关键．