如图.在平面直角坐标系中.O为坐标原点.点A的坐标为(5.0).菱形OABC的顶点B.C都在第一象限.tan∠AOC=$\frac{4}{3}$.将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α得到菱形FADE.EF与OC交于点G.连结AG．(1)求点B的坐标．(2)当OG=4时.求AG的长．(3)求证:GA平分∠OGE．(4)连结BD并延长交x轴于点P.当点P的坐标为时.求点G的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C都在第一象限，tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG．
（1）求点B的坐标．
（2）当OG=4时，求AG的长．
（3）求证：GA平分∠OGE．
（4）连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标．

分析（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，构建直角△ABH，所以利用菱形的四条边相等的性质和解该直角三角形得到AH、BH的长度，则易求点B的坐标；
（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建直角△OAM和直角△AMG，通过解直角△OAM求得直角边AM的长度，然后结合图形和勾股定理来求AG的长度；
（3）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建全等三角形：△AOM≌△AFN（ASA），利用该全等三角形的对应边相等得到AM=AN，最后结合角平分线的性质证得结论；
（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q，构建相似三角形：△GOA∽△BAP，根据该相似三角形的对应边成比例得到求得GQ的长度．结合已知条件tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，来求边OQ的长度，即可得到点G的坐标．

解答解：（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC∥AB，
∴∠BAH=∠COA．
∵tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠BAH=$\frac{4}{3}$．
又∵在直角△BAH中，AB=5，
∴BH=$\frac{4}{5}$AB=4，AH=$\frac{3}{5}$AB=3，
∴OH=OA+AH=5+3=8，
∴点B的坐标为（8，4）；

（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，
在直角△AOM中，∵tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，OA=5，
∴AM=$\frac{4}{5}$OA=4，OM=$\frac{3}{5}$OA=3，
∵OG=4，
∴GM=OG-OM=4-3=1，
∴AG=$\sqrt{A{M}^{2}+G{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$；

（3）如图1，过点A作AN⊥EF于点N，
∵在△AOM与△AFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠ANF=90°}\\{∠AOM=∠F}\\{OA=FA}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△AFN（AAS），
∴AM=AN，
∴GA平分∠OGE．

（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q，
由旋转可知：∠OAF=∠BAD=α．
∵AB=AD，
∴∠ABP=$\frac{180°-α}{2}$，
∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF，
∴∠OGA=∠EGA=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠OGA=∠ABP，
又∵∠GOA=∠BAP，
∴△GOA∽△BAP，
∴$\frac{GQ}{BH}$=$\frac{OA}{AP}$，
∴GQ=$\frac{5}{7}$×4=$\frac{20}{7}$．
∵tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，
∴OQ=$\frac{20}{7}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{7}$，
∴G（$\frac{15}{7}$，$\frac{20}{7}$）．