Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上的一点，F、G分别是AB、CM的中点，且AE=CE，∠MBE=45°，有以下四个结论：①AB=CM；②AB⊥CM；③∠BMC=90°，④△EFG是等腰直角三角形．其中正确的序号是

①②④

．（本题有若干个答案，多填、错填得零分，少填酌情扣分．）

Answer 1

分析：根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

解答：解：延长MC与AB相交于点H，
则∠MCE+∠MEC=∠EAB+∠MHA，
又∵∠MCE=∠EAB且∠MEC=90°，
∴∠MHA=90°，
∴AB⊥CM，即②正确．
∵∠MBE=45°，
∴BE=ME．
在△ABE与△CME中，
∵∠BAE=∠MCE，∠AEB=∠CEM=90°，BE=ME，
∴△ABE≌△CME，
∴AB=CM，即①正确．
∵∠MCE=∠BAE=90°-∠ABE＜90°-∠MBE=45°，
∴∠MCE+∠MBC＜90°，
∴∠BMC＞90°，即③错误．
根据直角三角形斜边上的中线的性质可知EF=

1

2

AB，EG=

1

2

CM，
∴EF=EG，
又∵∠FEG=90°，
∴△EFG是等腰直角三角形，即④正确．
可证故正确的是①②④．
故答案为：①②④．

点评：此题主要考查全等三角形的判定及等腰三角形的判定方法的综合运用．