Question

7．已知，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将△ABC绕点C旋转45°成为Rt△CA′B′，连接AA′并延长交BB′于点D，求证：BD=B′D．

Answer 1

分析 根据旋转的性质，△BCB'是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得∠BB'C的度数，则∠BB'A'可以求得，根据△AA'C是等腰三角形，即可求得∠AA'C的度数，则∠BA'D即可求得，进而求得∠DA'B'的度数，然后根据等角对等边即可求解．

解答 证明：将△ABC绕C点旋转45°，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵点Aˊ在BC上，AC=AˊC，
∴在△CAAˊ中，AC=AˊC，∠ACB=45°，
∴∠CAAˊ=∠CAˊA=67.5°，
∵在△CBBˊ中，CB=CBˊ，∠BCBˊ=45°，
∴∠CBBˊ=∠CBˊB=67.5°，
∵BC、AD相交于点Aˊ，
∴∠BAˊD=∠BAˊD=67.5°，
∴DB=DAˊ．
∵∠BAˊBˊ=90°，∠BAˊD=∠AˊBD=67.5°，
∴∠DBˊAˊ=∠DAˊBˊ=22.5°．
∴DBˊ=DAˊ，
又∵DAˊ=DB，
∴DB=DBˊ．

点评 本题考查了旋转的性质以及等腰三角新的性质，根据等腰三角形的性质求得∠BB'A'和∠DA'B'的度数是关键．