Question

9．已知α、β是一元二次方程2x²-3x-1=0的两个实数根，求下列代数式的值．
（1）（α-β）²；
（2）$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$；
（3）（α-2）（β-2）

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$，进一步把原式变形，然后利用整体思想计算即可．
（1）原式=（α+β）²-4αβ；（2）原式=$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{αβ}$；（3）原式=αβ-2（α+β）+4．

解答 解：∵α、β是一元二次方程2x²-3x-1=0的两个实数根，
∴α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$，
（1）原式=（α+β）²-4αβ=$\frac{9}{4}$+2=$\frac{17}{4}$；
（2）原式=$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{αβ}$=$\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{13}{2}$；
（3）原式=αβ-2（α+β）+4=-$\frac{1}{2}$-3+4=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程ax²+bx+c=0两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，渗透整体代入的思想．