Question

如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则下列说法中正确的个数有（　　）
①DC′平分∠BDE；②BC长为（

2

+2）a；③△BC′D是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：①根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=

2

2

BC，∠ABC=∠C=45°，由于Rt△ABD折叠得到Rt△EBD，根据折叠的性质得∠DBE=

1

2

∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，易得∠CDE=45°，DC=

2

a；又由于Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到，则∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，可计算出∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，于是可判断DC′不平分∠BDE；
②易得AC=AD+DC=a+

2

a，利用BC=

2

AC可得到BC长为（

2

+2）a；
③由∠DBC=∠BDC′=22.5°可得到△B C′D是等腰三角形；
④计算△CED的周长为DE+EC+DC=a+a+

2

a=（

2

+2）a，则有△CED的周长等于BC的长．

解答：解：∵∠BDC′=22.5°，∠C′DE=45°，
∴∠BDC′≠∠C′DE，即DC′不平分∠BDE，
故①错误；
根据折叠的性质知，△C′ED≌△CED，且都是等腰直角三角形，
∴∠DC′E=∠DCE=45°，C′E=CE=DE=AD=a，
CD=DC′=

2

a，
∴AC=a+

2

a，BC=

2

AC=（

2

+2）a，
故②正确；
∵∠ABC=2∠DBC，
∴∠DBC=22.5°，∠DC′C=∠DBC′+∠BDC′，
∴∠DBC′=∠BDC′=22.5°，
∴BC′=DC′，即△BC′D是等腰三角形，
故③正确；
∵△CED的周长=DE+EC+DC=a+a+

2

a=（

2

+2）a，BC=（

2

+2）a，
∴△CED的周长等于BC的长，
故④正确．
故选B．

点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，同时考查了等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识．