Question

11．如图，已知△ABC∽△DEF，AG，BM分别为△ABC的高和中线，DH，EN分别为△DEF的高和中线，求证：AG•EN=BM•DH．

Answer 1

分析 由△ABC∽△DEF可知∠ABG=∠DEH，然后由高线的定义可知∠AGB=∠DHE，从可证明△ABG∽△DEH，于是得到；$\frac{AG}{DH}=\frac{AB}{ED}$，由△ABC∽△DEF可知∠BAM=∠EDN，$\frac{AB}{AC}=\frac{ED}{DF}$，由中线的定义可知$\frac{AM}{DN}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}DF}=\frac{AC}{DF}$，故此可证明△ABM∽△DEN，从而得到$\frac{BM}{EN}=\frac{AB}{ED}$，于是得到$\frac{AG}{DH}=\frac{BM}{EN}$，整理得：AG•EN=BM•DH．

解答 解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠ABG=∠DEH．
∵AG为△ABC的高，DH为△DEF的高，
∴∠AGB=∠DHE=90°．
∴△ABG∽△DEH．
∴$\frac{AG}{DH}=\frac{AB}{ED}$．
∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAM=∠EDN，$\frac{AB}{AC}=\frac{ED}{DF}$．
∵BM、EN分别是三角形的中线，
∴AM=$\frac{1}{2}AC$，DN=$\frac{1}{2}DF$．
∴$\frac{AM}{DN}=\frac{AC}{DF}$．
∴△ABM∽△DEN．
∴$\frac{BM}{EN}=\frac{AB}{ED}$．
∴$\frac{AG}{DH}=\frac{BM}{EN}$．
∴AG•EN=BM•DH．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，证得△ABG∽△DEH、△ABM∽△DEN是解题的关键．