Question

19．阅读材料：如图（1）在任意△ABC中，点P是AB上的动点（点P异于点A、B），经过点P的直线PQ∥BC，交AC于点Q，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，经过进一步研究，我们发现$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{PQ}{BC}$．
（1）若AP=3，AB=6，BC=8，则PQ=4．
（2）如图（2），在△MGN中，∠MGN=90°，MG=3，NG=4，GH是斜边MN上的高，点E在MN上（点E不与M、N重合），过点E作EF⊥MN与△MGN的直角边相交于点F，当点E在MH上时，直线EF为过点E的△MGH是相似线，线段GH的长为$\frac{12}{5}$，线段MH的长为$\frac{9}{5}$．
（3）在（2）的条件下，设ME=x，△MEF的面积为y，当点E在斜边MN上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）．
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用相似线的定义列出比例式，将已知长代入求出PQ的长即可；
（2）利用相似线定义判断得到EF为三角形MGH的相似线，在直角三角形GMN中，利用勾股定理求出MN的长，再利用面积法求出GH的长，在直角三角形GMH中，利用勾股定理求出MH的长即可；
（3）①分两种情况考虑：一是P在MH上；一是P在HN上，表示出y与x的函数关系式即可；
②根据x的范围，利用二次函数性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

解答 解：（1）由题意得：$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PQ}{BC}$，即$\frac{3}{6}$=$\frac{PQ}{8}$，
解得：PQ=4；
（2）当点E在MH上时，直线EF为过点E的△MGH是相似线，
在Rt△MNG中，MG=3，NG=4，
根据勾股定理得：MN=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵S_△MNG=$\frac{1}{2}$MG•NG=$\frac{1}{2}$MN•GH，
∴GH=$\frac{MG•NG}{MN}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$；
线段GH的长为$\frac{12}{5}$，线段MH的长为$\frac{9}{5}$；
在Rt△MGH中，根据勾股定理得：MH=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$；
（3）①当点E在线段MH上移动，即0＜x≤$\frac{9}{5}$时，
∵EF为过点E的△MGH的相似线，
∴$\frac{EF}{GH}$=$\frac{ME}{MH}$，即$\frac{EF}{\frac{12}{5}}$=$\frac{x}{\frac{9}{5}}$，
解得：EF=$\frac{4}{3}$x，
此时y=$\frac{1}{2}$ME•EF=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{4}{3}$x=$\frac{2}{3}$x²；
当点E′在线段HN上移动，即$\frac{9}{5}$＜x＜5时，
∵E′F′为过点E的△GHN的相似线
∴$\frac{E′F′}{GH}$=$\frac{NE}{NH}$，即$\frac{E′F′}{\frac{12}{5}}$=$\frac{5-x}{\frac{16}{5}}$，
解得：E′F′=$\frac{3}{4}$（5-x），
此时y=$\frac{1}{2}$ME′•E′F′=$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{3}$（5-x）=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x；
②当0＜x≤$\frac{9}{5}$时，y=$\frac{2}{3}$x²，
当x=$\frac{9}{5}$时，y有最大值$\frac{54}{25}$；
当$\frac{9}{5}$＜x＜5时，y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x，
当x=$\frac{5}{2}$时，y有最大值$\frac{25}{6}$，
综上所述，当$\frac{5}{2}$时，y有最大值$\frac{25}{6}$．
故答案为：（1）4；（2）EF；$\frac{12}{5}$；$\frac{9}{5}$

点评 此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及二次函数性质，熟练掌握题中的新定义：“相似线定义”是解本题的关键．