已知:OC是圆M的直径.点D在半圆弧上运动.∠OCD的平分线与圆M交与点E.连接OE交CD的延长线于B.点A在直径OC上.且OA=OD．(1)如图1.当点D运动到什么位置时.点A和点M重合,(2)如图2.作EF⊥CO于点F.猜想EF与图中已有的那条线段的一半相等.并加以证明．(3)如图3.在上述条件下.过点E作CO的平行线交CB于点N.当NA⊥OC时.求EF:OF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知：OC是圆M的直径，点D在半圆弧上运动（点D与点O和C不重合），∠OCD的平分线与圆M交与点E，连接OE交CD的延长线于B，点A在直径OC上，且OA=OD．
（1）如图1，当点D运动到什么位置时，点A和点M重合；
（2）如图2，作EF⊥CO于点F，猜想EF与图中已有的那条线段的一半相等，并加以证明．
（3）如图3，在上述条件下，过点E作CO的平行线交CB于点N，当NA⊥OC时，求EF：OF的值．

分析（1）先判断出OA=OD，进而得出△AOD是等边三角形，即可得出结论；
（2）由垂径定理得出EF=$\frac{1}{2}$EH，$\widehat{OH}=\widehat{OE}$，由角平分线得出，$\widehat{DE}=\widehat{OE}$，进而得出$\widehat{OD}=\widehat{EH}$，即EH=OD，代换即可得出结论；
（3）先判断出△CEO≌△CEB得出NE是三角形OBC的中位线，在用三角函数得出sinβ=$\frac{EF}{OE}$，tanβ=$\frac{EF}{OF}$，EF=OE•sinβ=OC•cosβ•sinβ，借助（2）结论即可得出tanβ=$\frac{EF}{OF}$=$\frac{OC•cosβ•sinβ}{OA-AF}=\frac{OC•cosβ•sinβ}{2OC•cosβ•sinβ-\frac{1}{2}oc}=\frac{sinβ}{cosβ}$化简整理即可得出3cosβ=sinβ或cosβ=sinβ，即可得出结论．

解答解：（1）如图1，

连接AD，
∵点A和点M重合，
∴OA=OM，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=∠OMD=60°，
∴点D运动到$\widehat{OD}$所对的圆心角是60°的位置；
（2）如图2，

延长EF交⊙M于H，连接OD，
∵OC⊥EH，
∴EF=$\frac{1}{2}$EH，$\widehat{OH}=\widehat{OE}$，
∵∠OCD的平分线与圆M交与点E，
∴∠BCE=∠OCE，
∴$\widehat{DE}=\widehat{OE}$，
∴$\widehat{OD}=\widehat{EH}$，
∴EH=OD，
∵OA=OD，
∴EF=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OA，
（3）在⊙M中，OC为直径，
∴∠CEO=90°，
在△CEO和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEO=∠CEB=90°}\\{∠BCE=∠OCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CEO≌△CEB，
∴BE=OE，
∴E为OB的中点，
∵NE∥OC，
∴NE是△OBC的中位线，
∴NE-$\frac{1}{2}$OC，
∵四边形ANEF是矩形，
∴NE=AF，AN=EF，
在Rt△EOF中，设∠EOF=β，
∴sinβ=$\frac{EF}{OE}$，tanβ=$\frac{EF}{OF}$，
在Rt△OCE中，OE=OC•cosβ，
∴EF=OE•sinβ=OC•cosβ•sinβ，
由（2）知，OA=OD=2EF，
∴tanβ=$\frac{EF}{OF}$=$\frac{OC•cosβ•sinβ}{OA-AF}=\frac{OC•cosβ•sinβ}{2OC•cosβ•sinβ-\frac{1}{2}oc}=\frac{sinβ}{cosβ}$
∴2cos²β=4cosβ•sinβ-1=4cosβ•sinβ-（sin²β+cos²β），
∴3cos²β-4cosβsinβ+sin²β=0，
∴（3cosβ-sinβ）（cosβ-sinβ）=0，
∴3cosβ=sinβ或cosβ=sinβ，
∴tanβ=3或tanβ=1，
即：$\frac{EF}{OF}=3或1$．