Question

如图，∠CAP=∠DBP=90度，AC=AP，BD=BP，E为CD的中点．
（1）猜想△ABE为何种特殊三角形；
（2）请对（1）中你的猜想进行证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,等腰直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）根据图形猜想为等腰直角三角形．
（2）延长AE至F，使EF=AE，连结DF、BF；延长AP交DF于G，根据条件先得出△CEA≌△DEF，然后证得△BDF≌△BPA，进而求得AE=EF，通过证得△ABF为等腰直角三角形，从而得出△ABE为等腰直角三角形．

解答：解：（1）猜想△ABE为等腰直角三角形；

（2）延长AE至F，使EF=AE，连结DF、BF；延长AP交DF于G；
在△CEA与△DEF中，

AE=EF ∠AEC=∠FED CE=DE

，
∴△CEA≌△DEF（SAS），
∴DF=AC=AP，∠C=∠EDF
∴AC∥DF，
∵∠CAP=90°，
∴∠PGD=90°，
∵∠DBP=90°，
∴在四边形PBDG中，有∠BDF+∠BPG=180°
∴∠BDF=∠BPA，
在△BDF和△BPA中，

AP=DF ∠BDF=∠BPA BP=BD

，
∴△BDF≌△BPA（SAS），
∴BF=BA，∠DBF=∠PBA，
∵AE=EF，
∴BE⊥AE，
∵∠DBF=∠PBA，
∴∠ABF=∠PBA+∠PBF=∠DBF+∠PBF=90°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形．

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等，辅助线的作出是本题的关键．