Question

14．阅读下列解题过程：$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$；$\sqrt{1-\frac{5}{9}}$=$\sqrt{\frac{4}{9}}$=$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$；$\sqrt{1-\frac{7}{16}}$=$\sqrt{\frac{9}{16}}$=$\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$；…
（1）$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，$\sqrt{1-\frac{15}{64}}$=$\frac{7}{8}$．
（2）观察上面的解题过程，则$\sqrt{1-\frac{2n+1}{（n+1）^{2}}}$=$\frac{n}{n+1}$（n为自然数）
（3）利用这一规律计算：$\sqrt{（1-\frac{3}{4}）（1-\frac{5}{9}）（1-\frac{7}{16}）…（1-\frac{99}{2500}）}$．

Answer 1

分析 （1）根据算术平方根，即可解答．
（2）根据（1），利用算术平方根，进行解答；
（3）先分别计算出减法，再进行乘法计算，最后利用算术平方根即可解答．

解答 解：（1）$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$，$\sqrt{1-\frac{15}{64}}$=$\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}$，故答案为：$\frac{4}{5}$，$\frac{7}{8}$．
（2）观察上面的解题过程，则$\sqrt{1-\frac{2n+1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（n+1）^{2}-2n-1}{（n+1）^{2}}}=\sqrt{\frac{{n}^{2}}{（n+1）^{2}}}$=$\frac{n}{n+1}$，故答案为：$\frac{n}{n+1}$；
（3）原式=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{4}{9}×\frac{9}{16}×…×\frac{2401}{2500}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2500}}$
=$\frac{1}{50}$．

点评 本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．