Question

如图，已知△ABC中．∠A=60°，⊙O是△ABC的外接圆，AD是BC边上的高，H是△ABC的垂心，连接OA、OB、OC，连接OH并延长交AB于M，交AC于N，求证：
（1）∠BAD=∠OAC；
（2）AH等于△ABC外接圆半径；
（3）MH=NO．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据垂直和三角形的内角和定理求出∠BAD=90°-∠ABC，根据圆周角定理求出∠AOC=2∠B，根据三角形的内角和定理求出∠OAC=90°-∠ABC，代入求出即可；
（2）延长CO交⊙O于点F，连接AF、BF、BH，作OE⊥BC交BC于E，求出FB∥AD和BH∥FA，得到平行四边形AFBH，求出∠OBC=30°，推出OE=OB，即可求出答案；
（3）证△AMH≌△ANO即可．
解答：证明：（1）在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABC，
又∵∠AOC=2∠B，∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=（180°-∠AOC）=90°-∠B，
∴∠BAD=∠OAC．

（2）延长CO交⊙O于点F，连接AF、BF、BH，作OE⊥BC交BC于E，
∠ADC=90°，∠FBC=90°FB∥AD，
同理BH∥FA，
∴四边形AFBH是平行四边形．
∴AH=FB=20E，
又∠BOC=2∠A=120°，OE⊥BC，OB=OC，
∴∠OBC=30°，OE=OB，
即OB=20E，
∴AH=OB，
即AH等△AABC外接圆半径．

（3）在△AMH和△ANO中，∠MAH=∠NAO（已证），AH=AD（已证），
又∵∠AHO=∠AOH，
∴∠AHM=∠AON，
∴△AMH≌△ANO，
∴MH=NO．
点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，平行线分线段成比例定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．