题目内容

如图1,平移抛物线F1:y=x2后得到抛物线F2.已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A(2,0),且对称轴与抛物线F1交于点B,设抛物线F2的顶点为N.

⑴探究四边形ABMN的形状及面积(直接写出结论)

⑵若将已知条件中的“抛物线F1:y=x2”改为“抛物线F1:y=ax2”(如图2),“点A(2,0)”改为“点A(m,0)”,其它条件不变,探究四边形ABMN的形状及其面积,并说明理由.

⑶若将已知条件中的“抛物线F1:y=x2”改为“抛物线F1:y=ax2+c,”(如图3),“点A(2,0)”改为“点A(m,c)”其它条件不变,求直线AB与y轴的交点C的坐标(直接写出结论)

 


解:(1)四边形ABMN是正方形,其面积为2.……………………………2分

(2)四边形ABMN是菱形.当>0时,四边形ABMN的面积为;当<0时,四边形ABMN的面积为 -………………………………………………………………2分

(说明:如果没有说理过程,探究的结论正确的得2分)

理由:∵平移抛物线后得到抛物线,且抛物线经过原点O,

∴设抛物线的解析式为+.

∵抛物线经过点A(,0),

∴

依题可知∴,

∴抛物线的解析式为,…………………………………………3分

∴

∴抛物线的对称轴为直线,顶点N(,)………………4分

∵抛物线的对称轴与抛物线的交点为B,

∴点B的横坐标为,

∵点B在抛物线:上,

∴=,……………………………5分

设抛物线的对称轴与轴交于点P,

∵0∴BP=,

∵顶点N(,)

∴NP==,

∴BP =NP,…………………………………………6分

∵抛物线是轴对称图形,

∴OP =AP,

∴四边形ABMN是平行四边形,…………………7分

∵BN是抛物线的对称轴,

∴BN⊥OA,

∴四边形ABMN是菱形,…………………………8分

∵BN= BP +NP,

∴BN=,

∵四边形ABMN的面积为OA=,

∴当>0时(如图1),四边形ABMN的面积为=;………9分

当<0时,四边形ABMN的面积为(-)=.…………10分

(3)点C的坐标为(0,)(参考图2).………………………………12分

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