题目内容
如图1,平移抛物线F1:y=x2后得到抛物线F2.已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A(2,0),且对称轴与抛物线F1交于点B,设抛物线F2的顶点为N.
⑴探究四边形ABMN的形状及面积(直接写出结论)
⑵若将已知条件中的“抛物线F1:y=x2”改为“抛物线F1:y=ax2”(如图2),“点A(2,0)”改为“点A(m,0)”,其它条件不变,探究四边形ABMN的形状及其面积,并说明理由.
⑶若将已知条件中的“抛物线F1:y=x2”改为“抛物线F1:y=ax2+c,”(如图3),“点A(2,0)”改为“点A(m,c)”其它条件不变,求直线AB与y轴的交点C的坐标(直接写出结论)
解:(1)四边形ABMN是正方形,其面积为2.……………………………2分
(2)四边形ABMN是菱形.当
>0时,四边形ABMN的面积为
;当
<0时,四边形ABMN的面积为 -
………………………………………………………………2分
(说明:如果没有说理过程,探究的结论正确的得2分)
理由:∵平移抛物线
后得到抛物线
,且抛物线
经过原点O,
∴设抛物线
的解析式为
+
.
∵抛物线
经过点A(
,0),
∴![]()
依题可知![]()
∴
,
∴抛物线
的解析式为![]()
,…………………………………………3分
∴![]()
∴抛物线
的对称轴为直线
,顶点N(
,
)………………4分
∵抛物线
的对称轴与抛物线
的交点为B,
∴点B的横坐标为
,
∵点B在抛物线
:
上,
∴
=
,……………………………5分
设抛物线
的对称轴与
轴交于点P,
∵
0∴BP=
,
∵顶点N(
,
)
∴NP=
=
,
∴BP =NP,…………………………………………6分
∵抛物线是轴对称图形,
∴OP =AP,
∴四边形ABMN是平行四边形,…………………7分
∵BN是抛物线
的对称轴,
∴BN⊥OA,
∴四边形ABMN是菱形,…………………………8分
∵BN= BP +NP,
∴BN=
,
∵四边形ABMN的面积为
OA
=![]()
![]()
![]()
,
∴当
>0时(如图1),四边形ABMN的面积为![]()
![]()
![]()
=
;………9分
当
<0时,四边形ABMN的面积为![]()
![]()
(-
)=
.…………10分
(3)点C的坐标为(0,
)(参考图2).………………………………12分