题目内容

(2012•锦州二模)如图,已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,已知点B(8,0),tan∠OCB=2,△ABC的面积为8.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若平行于x轴的动直线EF从点C 出发,以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别交y轴、线段BC于E、F两点,动点P同时从点B出发在线段BO上以每秒2个单位的速度运动,连接PF、AF,设运动时间为t秒.△AFP的面积为S,求S与t的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,是否存在t值,使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先根据点B(8,0),tan∠OCB=2可求出OC的长,进而得出C点坐标,由△ABC的面积为8可求出AB的长,故可得出A点坐标,设所求抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,把A、B、C三点坐标代入即可求出a、b、c的值,进而得出结论;
(2)由PB=2t,CE=t,可知OE=4-t,△AFP的高等于OE,再根据0≤t≤2时,AP=4-2t和2<t≤4时AP=2t-4,由三角形的面积公式即可得出结论;
(3)在Rt△OBC中,由OB=8,OA=4,可求出BC的长,在Rt△EFC中,由tan∠OCB=2,EC=t,可得出EF,CF的表达式,再由BP=2t可得出BF=BC-CF,由于在△ABC与△BFP中两相似三角形的对应边不能确定,故应分△ABC∽△PBF和△ABC∽△FBP两种情况进行讨论.
解答:解:(1)在Rt△OBC中,
∵点B(8,0),tan∠OCB=
OB
OC
=2,
∴OC=4,即点C坐标为(0,-4).
∵S△ABC=
1
2
AB•OC=8,
∴AB=4.
∴点A的坐标为(4,0).
设所求抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
∵点C(0,-4),则c=-4,
又∵抛物线过点A(4,0),B(8,0),
16a+4b-4=0
64a+8b-4=0

解得
a=-
1
8
b=
3
2

故所求抛物线的表达式为y=-
1
8
x2+
3
2
x-4;

(2)∵PB=2t,CE=t,
∴OE=4-t,△AFP的高等于OE.
①当0≤t≤2时,AP=4-2t,
S=
1
2
AP•OE=
1
2
(4-2t)(4-t)=t2-6t+8;
②当2<t≤4时,AP=2t-4,
S=
1
2
AP•OE=
1
2
(2t-4)(4-t)=-t2+6t-8.
故S=
t2-6t+8(0≤t≤2)
-t2+6t-8(2<t≤4)
;    


(3)在Rt△OBC中,
∵OB=8,OA=4,
∴由勾股定理得BC=4
5

在Rt△EFC中,
∵tan∠OCB=2,EC=t
∴EF=2t,CF=
5
t.
∵BP=2t,
∴BF=BC-CF=4
5
-
5
t=
5
(4-t).
在△ABC与△BFP中,有公共角∠B.
①当
AB
BC
=
PB
FB
时,△ABC∽△PBF.此时
4
4
5
=
2t
5
(4-t)
,解得t=
4
3

②当
AB
BC
=
FB
BP
时,△ABC∽△FBP.此时
4
4
5
=
5
(4-t)
2t
,解得t=
20
7

综上所述,当t=
4
3
或t=
20
7
时,△ABC与△PBF相似.
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质等相关知识,在解答(2)、(3)时要注意进行分类讨论,不要漏解.
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