Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c过点A（3，0）和原点O．正方形BCDE的顶点B在抛物线y=x²+bx+c上，且在对称轴的左侧，点C、D在x轴上，点E在第四象限，且OD=1
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求正方形BCDE的边长；
（3）若正方形BCDE沿x轴向右平移，当正方形的顶点落在抛物线y=x²+bx+c上时，求平移的距离；
（4）若抛物线y=x²+bx+c沿射线BD方向平移，使抛物线的顶点P落在x轴上，求抛物线平移的距离．

Answer 1

分析：（1）将A和原点的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式．
（2）可设出C的坐标如（a，0），那么CD=BC=1-a，因此B点坐标为（a，1-a）代入抛物线的解析式中即可求出B点坐标．
（3）本题要按四边顶点分别在抛物线的图象上这四种情况进行求解，解题思路一致．以E点落在抛物线图象上为例说明：题（2）已经求出了正方形的边长为

3

-1，根据抛物线的对称性，那么此时E′的坐标为（1+

3

，1-

3

），已知了OD=6，而OD′=1+

3

，因此移动的距离为OD′-OD=

3

．（其他情况解法一样）．
（4）假设平移后抛物线的顶点为P′，可先根据直线BD的解析式求出直线PP′的解析式，进而求出P′的坐标，那么PP′就是抛物线平移的距离．

解答：解：（1）由题意可得：

9+3b+c=0 c=0

，
解得

b=-3 c=0

∴y=x²-3x．

（2）设正方形的边长为a，
则B（1-a，-a）代入解析式．
得a=

3

-1

（3）①当E点运动到抛物线上时，设平移后正方形为A′B′C′D′，
根据抛物线的对称性可知：E′（1+

3

，1-

3

），
因此OD′=1+

3

，即平移的距离为OD′-OD=

3

．
②当B点运动到抛物线上时，同理可求得B′（1+

3

，1-

3

），
因此OC′=1+

3

，
因为OC=1-a=2-

3

，
因此平移的距离为OC′-OC=2

3

-1．
③当D点运动到抛物线上时，可得D′（3，0），因此平移的距离为OD′-OD=3-1=2．
④当C点运动到抛物线上时，可得C′（3，0），因此抛物线移动的距离为OC′-OC=3-（2-

3

）=1+

3

．
综上所述，正方形平移的距离为

3

，2，2

3

-1，

3

+1．

（4）设平移后抛物线的顶点为P′，易知：直线BD的解析式为y=x-1．
因此可设直线PP′的解析式为y=x+h．
易知P（

3

2

，-

9

4

），代入直线PP′中可得h=-

15

4

．
因此P′（

15

4

，0）则平移的距离为

( 3 2 - 15 4 )2+(- 9 4 )2

=

9 2

4

．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、正方形的性质、函数图象的平移、一次函数的应用等知识．