Question

如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一动点（不与B、C重合），以AP为边作等边△APE，连接CE．
（1）求证：AB∥CE；
（2）是否存在点P，使得AE⊥CE？若存在，指出点P的位置并证明你的结论；若不存，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出角相等、边相等，证出△ABP≌△ACE（SAS），得出对应角相等，证出∠BAC=∠ACF，从而证出结论．
（2）由△ABP≌△ACE得出∠APB=∠AEC=90°，再由等边三角形的性质得出P为BC的中点．

解答：证明：（1）∵△ABC、△APE是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAE=∠B=60°，AB=AC，AF=AE，
∴∠BAP=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，

AB=AC   ∠BAF=∠CAE   AF=AE

∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACP=60°，
∴∠BAC=∠ACF，
∴AB∥CE；
（2）存在点P使得AE⊥CE．此时P为BC的中点；理由如下：
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
由（1）得：△ABP≌△ACE，
∴∠APB=∠AEC=90°，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC，
∴P为BC的中点．
∴存在点P，使得AE⊥CE．

点评：本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质；由等边三角形证明三角形全等是关键．