Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，点E是边AB的中点，联结DE，延长DE交CB的延长线于点F，∠CBA=2∠F，且AC=BC．
（1）求证：△FBE∽△EFC；
（2）求证：DC²=AD•FC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行线的性质,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：（1）由条件可证明△AED≌△BEF，可得E为DF的中点，由直角三角形的性质可知EF=EC，可得到∠F=∠FEB=∠ECF，可证明△FBE∽△EFC；
（2）根据（1）的过程及条件可求得∠F=∠ECF=30°，可求得∠ACD=30°，可证得△ADC∽△DCF，根据相似三角形的性质可证得结论．

解答：证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠EFB，
∵E为AB中点，
∴AE=BE，
在△AED和△BEF中，

∠ADF=∠EFB ∠AED=∠BEF AE=BE

，
∴△AED≌△BEF（AAS），
∴EF=DE，
∵∠DCB=90°，
∴CE=EF，
∴∠F=∠ECF，
∵∠CBF=2∠F，
∴∠F=∠FEB，
∴∠FEB=∠ECF，且∠F=∠F，
∴△FBE∽△EFC；
（2）∵AC=BC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
又由（1）可得∠EBC=2∠ECB，
∴∠F=∠ECB=∠ECA=30°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DCA=∠F，
又∵∠AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠ADC=∠DCF=90°，
∴△ADC∽△DCF，
∴

AD

DC

=

DC

CF

，
∴DC²=AD•FC．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的两组边对应成比例且夹角相等，②两个三角形有两组角对应相等，③两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似．