Question

5．如图：正方形OABC的顶点O在坐标原点，点A的坐标为（12，5）．
（1）正方形OABC的边长是13；
（2）点B的坐标是（7，17），点C的坐标是（-5，12）；
（3）现有动点P、Q分别从点C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒2个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点之后，另一点也停止运动．P、Q在运动过程中，由点C、P、Q所组成的△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形能否为菱形？如果能，求出此时点P、Q运动的时间；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥x轴于E，根据勾股定理求出正方形OABC的边长；
（2）作BF⊥x轴于F，AG⊥BF于G，CH⊥x轴于H，证明△COH≌△OAE，根据全等三角形的性质求出OH、CH得到点C的坐标，证明△BAG≌△OAE，求出点B的坐标；
（3）分点Q在AO上和点Q在CO上两种情况，根据菱形的性质列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作AE⊥x轴于E，
∵点A的坐标为（12，5），
∴OE=12，AE=5，
∴OA=$\sqrt{O{E}^{2}+A{E}^{2}}$=13，
故答案为：13；
（2）作BF⊥x轴于F，AG⊥BF于G，CH⊥x轴于H，
∵正方形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，又AE⊥x轴，
∴∠COH=∠OAE，
在△COH和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COH=∠OAE}\\{∠CHO=∠OEA=90°}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴△COH≌△OAE，
∴OH=AE=5，CH=OE=12，
∴点C的坐标是（-5，12），
同理△BAG≌△OAE，
∴AG=AE=5，BG=OE=12，
∴OF=7，BF=17，
∴点B的坐标是（7，17），
故答案为：（7，17）；（-5，12）；
（3）①如图2，当点Q在AO上时，
设t秒后，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，则QC=QP，
作QR⊥BC于R，
则CR=$\frac{1}{2}$CP=t，OQ=13-3t，
由题意得，13-3t=t，
解得，t=$\frac{13}{4}$，
②当点Q在CO上时，
设t秒后，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，则QC=CP，
即26-3t=2t，
解得，t=$\frac{26}{5}$，
综上所述当t=$\frac{13}{4}$或$\frac{26}{5}$时，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形．

点评 本题考查的是正方形的性质、翻折变换的性质以及菱形的性质和判定，掌握旋转变换的性质、菱形的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．