Question

如图，二次函数y=ax²+bx的顶点为A（1，1），与x轴的一个交点为B，双曲线y=

k

x

经过平行四边形ABCD的两个顶点C、D，其中点D在该抛物线的对称轴上
（1）求点B的坐标和线段CD的长：
（2）求该反比例函数的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用二次函数顶点坐标分别将-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=1代入求出a，b即可，再利用图象与x轴交点坐标求法得出B点坐标，进而利用平行四边形的性质求出AB=CD的长；
（2）首先利用平行四边形的性质表示出C，D两点坐标，再利用图象上点的坐标性质求出反比例函数的解析式即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx的顶点为A（1，1），
∴-

b

2a

=1，∴b=-2a，
∵

4ac-b2

4a

=1，即

-b2

4a

=1，
∴

-(2a)2

4a

=

-4a2

4a

=-a=1，
解得：a=-1，
故b=-2×（-1）=2，
∴二次函数解析式为：y=-x²+2x；
当y=0，则0=-x²+2x；
解得：x₁=0，x₂=2，
故图象与x轴的一个交点B坐标为（2，0），
延长DA到x轴一点E，∵点D在该抛物线的对称轴上，
∴AE⊥OB，
∵顶点为A（1，1），
∴AE=EO=1，∵BO=2，
∴BE=1，
∴AB=

2

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=

2

；

（2）过点C作CF⊥AD于点F，
由题意得出：BC∥AD，
∵AE⊥BO，AE=BE=1，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=∠CDF=45°，
∴DF=FC=1，
设C点坐标为：（2，h），则D点坐标为：（1，h+1），
将两点分别代入y=

k

x

得：

h+1=k h= k 2

，
解得：

h=1 k=2

，
故该反比例函数的解析式为：y=

2

x

．

点评：此题主要考查了二次函数与反比例函数的综合应用以及平行四边形的性质和勾股定理等知识，根据已知得出C，D两点坐标特点是解题关键．