Question

16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC的延长线上，CE=BC，连接AE，交CD边于点F，且CF=DF．
（1）求证：AD=BC；
（2）连接BD、DE，若BD⊥DE，求证：四边形ABCD为菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠D=∠ECF，由ASA证明△ADF≌△ECF，得出AD=CE，即可得出结论；
（2）首先四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=$\frac{1}{2}$BE=BC，即可得出四边形ABCD是菱形．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}\\{DF=CF}\\{∠AFD=∠EFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=CE，
∵CE=BC，
∴AD=BC；

（2）证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∵CE=BC，
∴CD=$\frac{1}{2}$BE=BC，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、菱形的判定；证明三角形全等是解决问题的关键．