Question

20．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{4}$与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=x²+bx+c过点B，C．
（1）求b、c的值；
（2）若点D是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点D作x轴的垂线，与直线BC相交于点E．当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式求得点B、C的坐标，代入抛物线解析式即可得；
（2）设点D的横坐标为m，则点D的坐标为（m，m²-5m+$\frac{9}{4}$），点E的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{9}{4}$），由DE=-$\frac{1}{2}$m+$\frac{9}{4}$-（m²-5m+$\frac{9}{4}$）=-（m-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{81}{16}$可得答案．

解答 解：（1）对于直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{4}$，当x=0时，y=$\frac{9}{4}$；当y=0时，x=$\frac{9}{2}$．
把（0，$\frac{9}{4}$）和（$\frac{9}{2}$，0）代入y=x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}=c\\ 0=\frac{81}{4}+\frac{9}{2}b+c\end{array}\right.$，
解得：b=-5，c=$\frac{9}{4}$；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x²-5x+$\frac{9}{4}$，
当y=0时，有x²-5x+$\frac{9}{4}$=0，
解得：x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{9}{2}$，
即A（$\frac{1}{2}$，0）、B（$\frac{9}{2}$，0），
设点D的横坐标为m，则点D的坐标为（m，m²-5m+$\frac{9}{4}$），点E的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{9}{4}$）．
∴DE=-$\frac{1}{2}$m+$\frac{9}{4}$-（m²-5m+$\frac{9}{4}$）=-（m-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{81}{16}$，
∵-1＜0，
∴当$m=\frac{9}{4}$时，线段DE的长度最大．
将x=m=$\frac{9}{4}$代入y=x²-5x+$\frac{9}{4}$，得y=-$\frac{63}{16}$．
而$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{9}{2}$，
∴点D的坐标为$（\frac{9}{4}，-\frac{63}{16}）$．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及抛物线与x轴的交点问题，设出点D坐标，表示出线段DE的长并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键