Question

13．已知关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0．
（1）当k取何值方程有两个实数根．
（2）是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据判别式是非负数，这样就可以确定k的取值范围；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，依题意x₁²+x₂²=5，又根据根与系数的关系可以得到x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，这样利用这些等式变形即可求解．

解答 解：（1）∵△=[-（k+1）]²-4×（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3≥0，
∴k≥$\frac{3}{2}$，
（2）设方程的两根为x₁、x₂
∴x₁²+x₂²=5，
∵x₁+x₂=k+1，x₁x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂=（k+1）²-2×（$\frac{1}{4}$k²+1）=5，解得k₁=-6，k₂=2，
∵x₁+x₂=k+1＞0，
∴k＞-1，
∴k=2．

点评 此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用各与系数的关系确定k的值．