题目内容
【题目】已知，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，直线
与
轴的正半轴交于点A，与
轴的负半轴交于点B， 
，过点A作轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为
，过点C作
轴，垂足为
．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点N在线段
上，连接ON，点P在线段ON上，过P点作
轴，垂足为D，交OC于点E，若
，求
的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作轴的平行线交BQ于点G，连接PF交轴于点H，连接EH，若
，求点P的坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
．
【解析】
（1）根据题意求出A，B的坐标即可求出直线AB的解析式；
（2）求出N（3,9），以及ON的解析式为y=3x，设P（a，3a），表达出PE及OD即可解答；
（3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，先证明四边形OSRA为矩形，再通过边角关系证明△OFS≌△FQR，得到SF=QR，进而证明△BSG≌△QRG，得到SG=RG=6，设FR=m，根据
，以及在Rt△GQR中利用勾股定理求出m的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH，利用正切函数的定义得到
，从而得到DH=
，根据∠PHD=∠FHT，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT，列出关于a的方程即可求出a的值，从而得到点P的坐标．
解：（1）∵CM⊥y轴，OM=9，
∴当y=9时，
，解得：x=12，
∴C（12,9），
∵CA⊥x轴，则A（12,0），
∴OB=OA=12，则B（0，-12），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
，解得：
，
∴；
（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，
∴四边形MOAC为矩形，
∴MC=OA=12，
∵NC=OM，
∴NC=9，则MN=MC-NC=3，
∴N（3,9）
设直线ON的解析式为
，
将N（3，9）代入得：
，解得：
，
∴y=3x，
设P（a，3a）
∵PD⊥x轴交OC于点E，交x轴于点D，
∴
，
，
∴PE=
，OD=a，
∴
；
（3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，
∵GF∥x轴，
∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR，
∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，
则四边形OSRA为矩形，
∴OS=AR，SR=OA=12，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，
∴∠FAR=∠AFR，
∴FR=AR=OS，
∵QF⊥OF，
∴∠OFQ=90°，
∴∠OFS+∠QFR=90°，
∵∠SOF+∠OFS=90°，
∴∠SOF=∠QFR，
∴△OFS≌△FQR，
∴SF=QR，
∵∠SFB=∠AFR=45°，
∴∠SBF=∠SFB，
∴BS=SF=QR，
∵∠SGB=∠RGQ，
∴△BSG≌△QRG，
∴SG=RG=6，
设FR=m，则AR=m，
∴QR=SF=12-m，
∴AF=
，
∵，
∴GQ=
，
∵QG2=GR2+QR2，即
，解得：m=4，
∴FS=8，AR=4，
∵∠OAB=∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，
∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，
∴四边形OSFT为矩形，
∴OT=FS=8，
∵∠DHE=∠DPH，
∴tan∠DHE=tan∠DPH，
∴，
由（2）可知，DE=
，PD=3a，
∴
，解得：DH=，
∴tan∠PHD=
，
∵∠PHD=∠FHT，
∴tan∠FHT=
，
∴HT=2，
∵OT=OD+DH+HT，
∴
，
∴a=
，
∴
【题目】某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．
设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）．
（I）根据题意，填写下表：
游泳次数 | 10 | 15 | 20 | … | x |
方式一的总费用（元） | 150 | 175 | ______ | … | ______ |
方式二的总费用（元） | 90 | 135 | ______ | … | ______ |
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当x>20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．