已知.如图①.在?ABCD中.AB=3cm.BC=5cm.AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM.速度为1cm/s,同时.点Q从点C出发.沿CB方向匀速移动.速度为1cm/s.当△PNM停止平移时.点Q也停止移动.如图②.设移动时间为t.连接PQ.MQ.MC.解答下列问题:(1)当t为何值时.PQ∥MN?(2)设△QMC的面积为y(cm2).求y与t之� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知，如图①，在?ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）设△QMC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_△QMC：S_{四边形ABQP}=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据勾股定理求出AC，根据PQ∥AB，得出$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，$\frac{4-t}{4}$=$\frac{t}{5}$，求解即可；
（2）过点P作PE⊥BC于E，根据△CPE∽△CBA，得出$\frac{4-t}{5}$=$\frac{PE}{3}$，求出PE=$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t，再根据S_△QMC=S_△QPC，得出y=S_△QMC=$\frac{1}{2}$QC•PE，再代入计算即可；
（3）根据S_△QMC：S_{四边形ABQP}=1：4，得出S_△QPC：S_△ABC=1：5，代入得出（$\frac{6}{5}$t-$\frac{3}{10}$t²）：6=1：5，再计算即可；
（4）根据PQ⊥MQ得出△PEQ∽△MQP，得出PQ²=MP•EQ，根据勾股定理得出PE²+EQ²=MP•EQ，再分别代入得出（$\frac{12-3t}{5}$）²+（$\frac{16-9t}{5}$）²=5×$\frac{16-9t}{5}$，求出t即可．

解答解：（1）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
由平移的性质得MN∥AB，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥AB，
∴$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，
∴$\frac{4-t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
t=$\frac{20}{9}$，
（2）过点P作PE⊥BC于E，如图

∵△CPE∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{PE}{BA}$，
∴$\frac{4-t}{5}$=$\frac{PE}{3}$，
∴PE=$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t，
∵PE⊥BC，
∴S_△QMC=S_△QPC，
∴y=S_△QMC=$\frac{1}{2}$QC•PE=$\frac{1}{2}$t（$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t）=$\frac{6}{5}$t-$\frac{3}{10}$t²（0＜t＜4），
（3）∵S_△QMC：S_{四边形ABQP}=1：4，
∴S_△QPC：S_{四边形ABQP}=1：4，
∴S_△QPC：S_△ABC=1：5，
∴（$\frac{6}{5}$t-$\frac{3}{10}$t²）：6=1：5，
∴t=2，
（4）若PQ⊥MQ，
则∠PQM=∠PEQ，
∵∠MPQ=∠PQE，
∴△PEQ∽△MQP，
∴$\frac{PQ}{MP}$=$\frac{EQ}{PQ}$，
∴PQ²=MP•EQ，
∴PE²+EQ²=MP•EQ，
∵CE=$\frac{16-4t}{5}$，
∴EQ=CE-CQ=$\frac{16-4t}{5}$-t=$\frac{16-9t}{5}$，
∴（$\frac{12-3t}{5}$）²+（$\frac{16-9t}{5}$）²=5×$\frac{16-9t}{5}$，
∴t₁=0（舍去），t₂=$\frac{3}{2}$，
∴t=$\frac{3}{2}$时，PQ⊥MQ．

点评此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造相似三角形．

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