Question

对于课本复习题18的第14题“如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE=EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）”，小华在老师的启发下对题目进行了拓广探索，发现：当原题中的“中点E”改为“直线BC上任意一点（B、C两点除外）时”，结论AE=EF都能成立．现请你证明下面这种情况：
如图（2），四边形ABCD是正方形，点E为BC反向延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CM所在直线于点F．求证：AE=EF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：探究型

分析：在AB延长线上截取BG=BE，连接EG．证得在△EAG和△FEC中，EAG=∠FEC，AG=CE，∠AGE=∠ECF，得出三角形全等，得出结论．

解答：证明：如图，

在AB延长线上截取BG=BE，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．
又∵BG=BE，
∴AG=CE．
∵∠ABC=∠BCD=90°，BG=BE，CM为正方形外角平分线
∴∠AGE=∠ECF=45°                       
∵∠ABE=90°，∠AEF=90°
∴∠AEB+∠EAG=90°，∠AEB+∠FEC=90°
∴∠EAG=∠FEC                       
又AG=CE，∠AGE=∠ECF，
在△EAG和△FEC中，

∠EAG=∠FEC AG=CE ∠AGE=∠ECF

，
∴△EAG≌△FEC（ASA），
∴AE=EF．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质等知识点，注意结合图形，灵活作出辅助线解决问题．