Question

15．如图，锐角△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点O，且OB=OC．
（1）请你说明△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，再由BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，进一步得到∠BCD=∠CBE，由等角对等边得到AB=AC，即可解答；
（2）欲证明O在∠BAC的平分线上，只需推知OE=OD即可．

解答 解：（1）∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠BCD=∠CBE，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△BEO与△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COD}\\{∠OEB=∠ODC=90°}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE=OD．
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴O在∠BAC的平分线上．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是推出△EBC≌△DCB，注意：等角对等边．