Question

如图，在?ABCD中，点E、F分别在AB、AD延长线上，使得EF∥BD，连接EF，分别交BC、CD于点P、Q，已知BE=BP．求证：
（1）∠E=∠F；
（2）?ABCD是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质得出∠E=∠BPE，根据平行四边形性质得出BC∥AD，推出∠BPE=∠F，即可得出答案；
（2）求出∠BPE=∠DQF，根据平行线性质得出∠CBD=∠BPE，∠BDC=∠DQF，推出∠CBD=∠CDB，推出BC=DC，根据菱形的判定推出即可．

解答：证明：（1）∵BE=BP，
∴∠E=∠BPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BPE=∠F，
∴∠E=∠F；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DQF=∠E，
∵∠E=∠F，∠BPE=∠E，
∴∠BPE=∠DQF，
∵EF∥BD，
∴∠CBD=∠BPE，∠BDC=∠DQF，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．