Question

11．已知等边△OAB的边长为1，以AB边上的高OA₁为边，按逆时针方向作等边△OA₁B₁，A₁B₁与OB相交于点A₂，再以OA₂为边按逆时针方向作等边△OA₂B₂，A₂B₂与OB₁相交于点A₃，按此操作进行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…，△OA_nB_n，如图，求得△OA₇B₇的周长是3（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁷．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得下一个三角形的边都是上个三角形的高，依次找到规律，得出OA₇的长，即可得出三角形的周长，

解答 解：∵等边△OAB的边长为1，
∴OA₁=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵下一个三角形都是上个三角形的高，
∴OA₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，
∴OA₃=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³，
以此类推，OA₇=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁷，
即OA₇B₇的周长为3×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁷．
故答案为3（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁷．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，是找规律题，找到第n个等边三角形的边长与前一个等边三角形的边长的关系是解题的关键，难度较大．