Question

17．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=-x²+3x-2可知，a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”；
（2）若函数y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x²-2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁵的值；
（3）已知函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数．”

Answer 1

分析 （1）根据“旋转函数”的定义求出a₂，b₂，c₂，从而得到原函数的“旋转函数”；
（2）根据“旋转函数”的定义得到$\frac{4}{3}$m=-2n，-2+n=0，再解方程组求出m和n的值，然后根据乘方的意义计算；
（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A（-1，0），B（4，0），C（0，2），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），则可利用交点式求出经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，再把y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．

解答 （1）解：∵a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，
∴-1+a₂=0，b₂=3，-2+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=2，
∴函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”为y=x²+3x+2；
（2）解：根据题意得$\frac{4}{3}$m=-2n，-2+n=0，解得m=-3，n=2，
∴（m+n）²⁰¹⁵=（-3+2）²⁰¹⁵=-1；
（3）证明：当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=2，则C（0，2），
当y=0时，-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=0，解得x₁=-1，x₂=4，则A（-1，0），B（4，0），
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），
设经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=a₂（x-1）（x+4），把C₁（0，-2）代入得a₂•（-1）•4=-2，解得a₂=$\frac{1}{2}$，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
而y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴a₁+a₂=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，b₁=b₂=$\frac{3}{2}$，c₁+c₂=2-2=0，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．