Question

7．如图，抛物线y=kx²-2kx-3k（k＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含k的代数式表示），A、B两点的坐标；
（2）试探究，△BCM与△ABC的面积比值是否不变？若不变，试求出这个比值；若会变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用配方法把二次函数一般式化为顶点式，求出顶点坐标，解方程求出A、B两点的坐标；
（2）过M作MD⊥x轴于点D，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵y=kx²-2kx-3k=k（x-1）²-4k，
∴抛物线顶点M坐标为（1，-4k），
∵抛物线y=kx²-2kx-3k（k＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y=0时，kx²-2kx-3k=0，
∵k＞0，∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
则A、B两点的坐标为（-1，0），（3，0）；
（2）不变，
当x=0时，y=-3k，即C（0，-3k），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×|3-（-1）|×|-3k|=6|k|=6k，
过M作MD⊥x轴于点D，
则有OD=1，BD=OB-OD=2，MD=|-4k|=4k，
∴S_△BCM=S_△BDM+S_梯形OCMD-S_△BOC=$\frac{1}{2}$BD•DM+$\frac{1}{2}$（OC+DM）•OD-$\frac{1}{2}$OB•OC
=$\frac{1}{2}$×2×4k+$\frac{1}{2}$×（3k+4k）×1-$\frac{1}{2}$×3×3k=3k，
∴S_△BCM：S_△ABC=3k：6k=1：2．
∴△BCM与△ABC的面积比不变，为1：2．

点评 本题考查的是二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法，正确运用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键，注意方程思想的应用．