Question

16．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先把B点坐标代入代入y=$\frac{m}{x}$，求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积=S_△AOC+S_△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当-4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．

解答 解：∵B（2，-4）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=2×（-4）=-8，
∴反比例函数解析式为：y=-$\frac{8}{x}$，
把A（-4，n）代入y=-$\frac{8}{x}$，
得-4n=-8，解得n=2，
则A点坐标为（-4，2）．
把A（-4，2），B（2，-4）分别代入y=kx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-x-2；

（2）∵y=-x-2，
∴当-x-2=0时，x=-2，
∴点C的坐标为：（-2，0），
△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积
=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4
=6；

（3）由图象可知，当-4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．

点评 本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．