Question

8．如图，在⊙O中，弦AC=2$\sqrt{3}$ cm，C为⊙O上一点，且∠ABC=120°，则⊙O的直径为（　　）

• A． 2cm
• B． 4$\sqrt{3}$cm
• C． 4cm
• D． 6cm

Answer 1

分析 作直径AD，根据直径所对的圆周角是直角，构建直角三角形，由圆内接四边形对角互补得：∠ADC=180°-120°=60°，利用60°的三角函数值求直径的长．

解答 解：作直径AD，交⊙O于D，连接CD，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=180°-120°=60°，
在Rt△ACD中，sin∠ADC=sin60°=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=4，
则⊙O的直径为4cm；
故选C．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和特殊的三角函数值，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角构建直角三角形是关键，熟练掌握圆内接四边形对角互补，因此本题的突破口在∠ABC=120°上，方法有很多，不同的辅助线作法，解题思路也不同，可以作AC的弦心距，根据垂径定理来求．