题目内容
5、已知n为正整数，且n2-71能被7n+55整除，试求n的值．
分析：可设被7n+55整除后得k，得到关于n的一元二次方程，根据根的判别式是完全平方式判断k的取值，进而判断n的值即可．
解答：解：设被7n+55整除后得k，
∴n2-7kn-（71+55k）=0，
∵n为正整数，
∴△=49k2+220k+284是完全平方数，
而（7k+15）2＜49k2+220k+284＜（7k+17）2，
∴49k2+220k+284=（7k+16）2，
解得 k=7，
∴n2-49n-456=0，即 （n+8）（n-57）=0，
∴n=57．
∴n2-7kn-（71+55k）=0，
∵n为正整数，
∴△=49k2+220k+284是完全平方数，
而（7k+15）2＜49k2+220k+284＜（7k+17）2，
∴49k2+220k+284=（7k+16）2，
解得 k=7，
∴n2-49n-456=0，即 （n+8）（n-57）=0，
∴n=57．
点评：考查数的整除性问题；采用比较范围的方法得到k的取值是解决本题的突破点．
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