Question

5、已知n为正整数，且4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数，则n的一个值是

1003或3988

．

Answer 1

分析：本题分两种情况讨论n的取值．把4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出n．

解答：解：（1）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸
=（2⁷）²+2•2⁷•2^2n-8+（2¹⁹⁹⁸）²
∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数．
∴2^2n-8=2¹⁹⁹⁸
即2n-8=1998．
∴当n=1003时，4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是完全平方数；

（2）4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸=4⁷+4¹⁹⁹⁸+4ⁿ，
=（2⁷）²+2•2⁷•2³⁹⁸⁸+（2ⁿ）²，
∵4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数．
∴2³⁹⁸⁸=2ⁿ，
∴n=3988．
综上得n=1003或n=3988．

点评：本题考查了完全平方数的概念，如果一个数是一个完全平方数，那么一定可以表示为一个数的平方．