Question

已知n为正整数，且2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数，则n的值为

1009或4024

．

Answer 1

分析：本题分两种情况讨论n的取值．把4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出n．

解答：解：（1）2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴
=2²+2•2•2^n-2+（2¹⁰⁰⁷）²
∵2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数．
∴2^n-2=2¹⁰⁰⁷
即n-2=1007．
∴当n=1009时，2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数；

（2）2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴=2²+2²⁰¹⁴+2ⁿ，
=2²+2•2•2²⁰¹²+2ⁿ，
∵2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数．
∴2012×2=n
∴n=4024．
综上得n=1009或n=4024，
故答案为：1009或4024．

点评：本题考查了完全平方数的概念，如果一个数是一个完全平方数，那么一定可以表示为一个数的平方．