Question

2．如图1，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE内点A′的位置，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由
（1）如图2，将△ABC中纸片沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE的外部点A′的位置，探索∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图3，将四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE内部点A′D′的位置，请直接写出∠A、∠D、∠1与∠2之间的数量关系．

Answer 1

分析 根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可；
（1）运用三角形的外角性质即可解决问题；
（2）先根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．

解答 解：图1中，2∠A=∠1+∠2，
理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A；

（1）如图2，2∠A=∠1-∠2．

∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，
∴2∠A=∠1-∠2；
（2）如图3，

根据翻折的性质，∠3=$\frac{1}{2}$（180-∠1），∠4=$\frac{1}{2}$（180-∠2），
∵∠A+∠D+∠3+∠4=360°，
∴∠A+∠D+$\frac{1}{2}$（180-∠1）+$\frac{1}{2}$（180-∠2）=360°，
整理得，2（∠A+∠D）=∠1+∠2+360°．

点评 本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．