题目内容
在△ABC中，已知AB=37，AC=58，在BC上有一点D使得AB=AD，且D在B、C之间．若BD与DC的长度都是整数，则BD的长度是考点：三角形边角关系
专题：
分析：首先过点A作AH⊥BC于H，由勾股定理可得：AC2=AH2+CH2，AB2=AH2+BH2，则可得AC2-AB2=CH2-BH2=（CH+BH）（CH-BH）=BC×CD．由AB=37，AC=58，可得BC×CD=3×5×7×19，然后根据三角形三边关系与BD与DC的长度都是整数，确定BC=35或57，然后分析求解即可求得答案．
解答：
解：过点A作AH⊥BC于H，
则AC2=AH2+CH2，AB2=AH2+BH2，
故AC2-AB2=CH2-BH2=（CH+BH）（CH-BH）=BC×CD．
∵AB=37，AC=58，
∴BC×CD=582-372=3×5×7×19．
∵AC-AB＜BC＜AC+AB，
∴21＜BC＜95，
∵BC为整数，
∴BC=35或BC=57．
若BC=35，则CD=3×19=57＞BC，D不在B、C之间，故应舍去．
∴应取BC=57，这时CD=35，BD=22．
故答案为：22．
解：过点A作AH⊥BC于H，则AC2=AH2+CH2，AB2=AH2+BH2，
故AC2-AB2=CH2-BH2=（CH+BH）（CH-BH）=BC×CD．
∵AB=37，AC=58，
∴BC×CD=582-372=3×5×7×19．
∵AC-AB＜BC＜AC+AB，
∴21＜BC＜95，
∵BC为整数，
∴BC=35或BC=57．
若BC=35，则CD=3×19=57＞BC，D不在B、C之间，故应舍去．
∴应取BC=57，这时CD=35，BD=22．
故答案为：22．
点评：此题考查了三角形的三边关系、勾股定理以及平方差公式等知识．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合与分类讨论思想的应用．
练习册系列答案
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| A、a＞b | B、a=b |
| C、a＜b | D、无法确定 |
