Question

10．如图，?ABCO放置在平面直角坐标系中，已知A（6，0），C（3，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点B．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点M（a，b）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，且满足∠MCB＞∠ABC，则a的取值范围是0＜a＜3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质及A点和C的坐标求出点B的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数得解析式；
（2）延长OC交反比例函数图象于点D，利用待定系数法求出直线BOC的解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组求出交点D的横坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（3，4），
∴BC=OA=6，6+3=9，
∴点B的坐标是（9，4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点B，
∴k=9×4=36，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{36}{x}$；
（2）延长OC交反比例函数图象于点D，如图所示．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠BCD=ABC，
∵点C（3，4），
∴直线OC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x．
联立OC与反比例函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=\frac{36}{x}}\end{array}\right.$，
解得：x₁=3$\sqrt{3}$，x₂=-3$\sqrt{3}$，
∵x＞0，
∴点D的横坐标为3$\sqrt{3}$，
∴a＜3$\sqrt{3}$，
故答案为0＜a＜3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数得解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键．