Question

4．如图，在△ABC中，点D在△ABC的内部且DB=DC，点E，F在△ABC的外部，FB=FA，EA=EC，∠FBA=∠DBC=∠ECA．
（1）①填空：△ACE∽△ABF∽△BCD；
②求证：△CDE∽△CBA；
（2）求证：△FBD≌△EDC；
（3）若点D在∠BAC的平分线上，判断四边形AFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠DCB，∠FBA=∠FAB，∠ACE=∠EAC，等量代换得到∠FAB=∠BCD=∠EAC，于是得到结论；②根据相似三角形的性质得到$\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}$，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠EDC=∠FBD，∠FDB=∠ACB等量代换得到∠FDB=∠ACB，根据全等三角形的判定即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到FB=DE，DF=CE，等量代换得到FD=AE，FA=DE，推出四边形AFDE是平行四边形，连接AD，于是得到AD平分∠BAC，根据菱形的判定定理即可得到结论．

解答 解：（1）①∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵FB=FA，EA=EC，
∴∠FBA=∠FAB，∠ACE=∠EAC，
∵∠FBA=∠DBC=∠ECA，
∴∠FAB=∠BCD=∠EAC，
∴△ACE∽△ABF∽△BCD；
故答案为：△ABF，△BCD；
②由①知，△ACE∽△BCD，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CA}{CB}$，即$\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}$，
∵∠ECA=∠DCB，
∴∠ECD=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA；

（2）∵△CDE∽△CBA，
∴∠ABC=∠EDC，
∵∠ABC=∠FBD，
∴∠EDC=∠FBD，
同理△BFD∽△BAC，
∴∠FDB=∠ACB，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠FDB=∠ACB，
在△FBD与△EDC中$\left\{\begin{array}{l}{∠FDB=∠ECD}\\{BD=CD}\\{∠FBD=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△FBD≌△EDC；

（3）四边形AFDE是菱形，
理由：∵△FBD≌△EDC，
∴FB=DE，DF=CE，
∵FB=FA，EA=EC，
∴FD=AE，FA=DE，
∴四边形AFDE是平行四边形，
连接AD，则AD平分∠BAC，
即∠BAD=∠CAD，
∵∠BAF=∠CAE，
∴∠DAF=∠DAE，
∵AF∥DE，
∴∠DAF=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴EA=ED，
∴?AFDE是菱形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．