Question

将?OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知AB边所在直线的函数解析式为：y=-x+4．若将?OABC绕点O逆时针旋转90°得OBDE，BD交OC于点P．
（1）直接写出点C的坐标是

 

：
（2）求△OBP的面积；
（3）若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为x（0≤x≤8），与?OABC重叠部分周长为L，试求出L关于x的函数关系式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由AB边所在直线的解析为：y=-x+4，即可求得点A与B的坐标，又由四边形OABC是平行四边形，即可求得BC=OA=4，则可求得点C的坐标；
（2）易证得△OBP是等腰直角三角形，又由BO=4，即可求得△OBP的面积；
（3）分别从当0≤x＜4时与当4≤x≤8时，利用等腰直角三角形的性质及平移的性质即可求得答案．

解答：解：（1）∵AB边所在直线的解析为：y=-x+4，
∴点A的坐标为：（4，0），点B的坐标为：（0，4），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=OA=4，BC∥OA，
∴点C的坐标为：（-4，4）；
故答案为：（-4，4）；
（2）由旋转的性质，可得：OD=OB=4，
∵∠BOD=90°，
∴∠OBD=45°，
∵OB=BC，∠OBC=90°，
∴∠BOC=45°，
∴∠OPB=90°，BP=OP，
∵OB=4，
∴OP=BP=2

2

，
∴S_△OBP=

1

2

OP•BP=4；

（3）分两种情况考虑：
①当0≤x≤4时，如图1所示，可得△CPH，△HBG与△FKO都为等腰直角三角形，
∴GB=OF，PH=PC，KF=OK，
此时重合部分五边形PHBFK的周长L=BH+HP+PK+KF+BF=GB+CP+PK+KO=BF=OC+FG=OC+OB=4+4

2

；
②当4≤x≤8时，如图2所示，此时△CPH与△BHF都为等腰直角三角形，
∴FB=HB=BG-GF=x-4，CH=CB-HB=4-（x-4）=8-x，CP=PH=

2

2

（8-x），
此时重合部分△CHP的周长L=CH+CP+PH=8-x+2×

2

2

（8-x）=8+8

2

-

2

x-x，
综上，L=

4+4 2 (0≤x≤4) 8+8 2 - 2 x-x(4≤x≤8)

．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：等腰三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，以及平移的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．