Question

已知x²+y²-2x-4y+5=0，则

1

xy

+

1

(x+1)(y+1)

+

1

(x+2)(y+2)

+…+

1

(x+2010)(y+2010)

的值等于

2011

2012

．

Answer 1

分析：由于x²+y²-2x-4y+5=0，易得（x-1）²+（y-2）²=0，利用非负数的性质可求xy，再把x、y的值代入所求式子可得
原式=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2011×2012

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

，进而可求值．

解答：解：∵x²+y²-2x-4y+5=0，
∴x²-2x+1+y²-4y+4=0，
∴（x-1）²+（y-2）²=0，
∴x=1，y=2，
∴原式=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2011×2012

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．
故答案是

2011

2012

．

点评：本题考查了非负数的性质、完全平方公式、有理数的简化计算．解题的关键是对已知条件配方，求出x、y．