Question

3．在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点，PE⊥AD交直线BC于点E（∠ABC、∠ACB的大小不确定）．
（1）若∠ABC=55°，∠ACB=65°，求∠E的度数；
（2）猜想∠E与∠ABC、∠ACB的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．

解答 解：（1）∵∠ABC=55°，∠ACB=65°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠E=20°；

（2）∠E=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC）或∠E=$\frac{1}{2}$（∠ABC-∠ACB）
证明：当∠ACB＞∠ABC时，设∠ABC=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180-n-m）°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$（180-n-m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+$\frac{1}{2}$（180-n-m）°=90°+$\frac{1}{2}$n°-$\frac{1}{2}$m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-（90°+$\frac{1}{2}$n°-$\frac{1}{2}$m°）=$\frac{1}{2}$（m-n）°=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC）．
当∠ABC＞∠ACB时，同法可证：∠E=$\frac{1}{2}$（∠ABC-∠ACB）．

点评 此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．