题目内容
如图，AB是⊙O的直径，C是 |
| BD |
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为4，求BC的长．
考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系
专题：计算题,几何图形问题,数形结合
分析：（1）首先延长CE交⊙O于点M，由AB是⊙O的直径，C是
的中点，CE⊥AB，易得
=
，即可得∠BCM=∠CBD，继而证得CF=BF；
（2）首先连接AC，易证得Rt△ADB∽Rt△FEB，△EBC∽△ECA，然后由相似三角形的对应边成比例与勾股定理，求得答案．
|
| BD |
|
| CD |
|
| BM |
（2）首先连接AC，易证得Rt△ADB∽Rt△FEB，△EBC∽△ECA，然后由相似三角形的对应边成比例与勾股定理，求得答案．
解答：（1）证明：延长CE交⊙O于点M，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴
=
，
∵C是
的中点，
∴
=
，
∴
=
，
∴∠BCM=∠CBD，
∴CF=BF；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴∠BEF=∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠FBE，
∴Rt△ADB∽Rt△FEB，
∴
=
，
∵AD=2，⊙O的半径为4，
∴AB=8，
∴
=
，
∴BF=4EF，
又∵BF=CF，
∴CF=4EF，
利用勾股定理得：BE=
=
EF，
又∵∠ACB=∠CEB=90°，∠ABC=∠CBE，
∴△EBC∽△ECA，
∴
=
，
∴CE2=AE•BE，
∴（CF+EF）2=（8-BE）•BE，
∴25EF2=（8-
EF）•
EF，
∴EF=
，
∴BC=
=2
．
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴
|
| BC |
|
| BM |
∵C是
|
| BD |
∴
|
| BC |
|
| CD |
∴
|
| CD |
|
| BM |
∴∠BCM=∠CBD，
∴CF=BF；
（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴∠BEF=∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠FBE，
∴Rt△ADB∽Rt△FEB，
∴
| AD |
| EF |
| AB |
| BF |
∵AD=2，⊙O的半径为4，
∴AB=8，
∴
| 2 |
| EF |
| 8 |
| BF |
∴BF=4EF，
又∵BF=CF，
∴CF=4EF，
利用勾股定理得：BE=
| BF2-EF2 |
| 15 |
又∵∠ACB=∠CEB=90°，∠ABC=∠CBE，
∴△EBC∽△ECA，
∴
| CE |
| AE |
| BE |
| CE |
∴CE2=AE•BE，
∴（CF+EF）2=（8-BE）•BE，
∴25EF2=（8-
| 15 |
| 15 |
∴EF=
| ||
| 5 |
∴BC=
| BE2+CE2 |
| 6 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
一组数据的方差为S2，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍，那么所得到的一组新数据的方差为（ ）
A、
| ||
| B、S2 | ||
| C、3S2 | ||
| D、9S2 |
如图，四边形ADBC中，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，AD=2，BC=4，且AE=BC，∠1=∠2．