Question

如图，四边形ADBC中，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，AD=2，BC=4，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由；
（2）求AB的长度；
（3）△CDE是不是等腰直角三角形？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：几何图形问题,探究型

分析：（1）由∠1=∠2，可得DE=CE，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；
（2）由（1）可得，AD=BE，AE=BC，所以，AB=AE+BE=BC+AD；
（3）根据题意，∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，又∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，所以，∠AED+∠BEC=90°，即可证得∠DEC=90°，即可得出．

解答：证明：（1）Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
又∵∠A=∠B=90°，AE=BC
在Rt△ADE和Rt△BEC中，

DE=CE AE=BC

，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；

（2）解：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴AD=BE，
又∵AE=BC，
∴AB=AE+BE=BC+AD，
即AB=AD+BC=2+4=6；

（3）△CDE是直角三角形；理由如下：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，
又∵∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴2（∠AED+∠BEC）=180°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．