Question

【题目】在中，是锐角，过两点以为半径作

（1）如图，对角线交于点，若，且过点，求的值

（2）与边的延长线交于点，的延长线交于点，连接，若，的长为，当时，求的度数（提示：可再备用图上补全示意图）

Answer 1

【答案】（1）1；（2）90°

【解析】

（1）先证得为菱形，由菱形的性质得到AC⊥BD，从而判断出线段AB为的直径，从而得到r.

（2）依题意补全图形，结合图形，证明点D在圆上，得到DF为直径即可求解.

（1）解：在□ABCD中，AB＝BC＝2，

∴四边形ABCD是菱形.

∴AC⊥BD.

∴∠AMB＝90°

∴AB为⊙O的直径

∴r＝AB＝1

（2）解：连接AE，设圆心为如图点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，直线OC与AD交于点N，则OA＝OB＝OE＝r.

在⊙O中，＝.

∵＝r，

∴ n＝90°.即∠AOE＝90°,

∴∠ABE＝∠AOE＝45°.

在□ABCD中，AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC＝45°.

∴∠ABE＝∠ACB＝45°.

∴∠BAC＝90°，AB＝AC.

∴在Rt△ABC中，BC＝＝AB.

∵CE＝AB，

∴BC＝CE.

又∵OB＝OE，

∴OC⊥BE

∴∠OCB＝90°

∵AD∥BC，

∴∠OCB＝∠ONA＝90°.

∴OC⊥AD.

在□ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°.

∴∠DAC＝∠ADC =45°.

∴AC＝CD.

∴AN＝ND

即直线OC垂直平分AD

∴OA＝OD.

∴点D在⊙O上

∴DF为⊙O的直径.

∴∠DEF＝90°